Pruebas de bondad de ajuste

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE JI CUADRADA

Se utiliza para encontrar la distribución de probabilidad de una serie de datos. La metodología se basa en lo siguiente:

1. Se colocan los n datos históricos en una tabla de frecuencias de 
   

   

   intervalos. Se obtiene la frecuencia observada en cada intervalo i(FOi). Se calcula la media y la varianza de los datos.
2. Se propone una distribución de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de frecuencias obtenida en el paso 1.
3. Con la distribución propuesta, se calcula la frecuencia esperada para cada uno de los intervalos (FEi) mediante la integración de la distribución propuesta y su posterior multiplicación por el número total de datos.
4. Se calcula el estimador:
   

   
5. Si el estimador C es menos o igual al valor correspondiente (jicuadrada) con m-k-1 grados de libertad (k = número de parámetros estimados de la distribución) y a un nivel de confiabilidad de 1-alfa, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que la información histórica sigue la distribución propuesta en el punto 2.

Ejemplo:

Mediante la prueba x^2 determine el tipo de distribución de probabilidad que sigue la demanda de automóviles a un nivel del 95%, si a través del tiempo se ha registrado el comportamiento consignado en la figura 1.

Obtenga la tabla de frecuencias de la figura 1 considerando 7 intervalos y cuantificando la frecuencia para cada uno de ellos:

Figura 1. Comportamiento de la demanda

La distribución de probabilidad esperada que se propone, observando los datos de la columna FO, es una distribución uniforme entre  y  automóviles por día, o sea:

Integrando la función f(x):

Donde
LI = límite inferior de cada intervalo.
LS = límite superior de cada intervalo.

Sustituyendo los valores de los límites para obtener F(x) y multiplicándolos por el total de datos, se obtiene FE para cada intervalo.

Calculando el estadístico C con los datos de FEi y FOi, se obtiene

C = 4.092

El valor C = 4.092, comparado con el valor de la tabla de

indica que no podemos rechazar que los datos anteriores se comportan de acuerdo a una distribución uniforme entre 0 y 13 automóviles demandados por día con un nivel de confianza del 95%. Entonces,

PRUEBA DE AJUSTE DE BONDAD KOLMOGOROV-SMIRNOV

Esta prueba encuentra el tipo de distribución de probabilidad de una serie de datos, siendo más eficiente que la de (jicuadrada) ya que trabaja con la distribución de probabilidad acumulada. La metodología se basa en lo siguiente:

1. Se colocan n datos históricos en una tabla de frecuencias con 
   

   

   intervalos. Para cada intervalo se tendrá la frecuencia observada i(FOi). Se calcula la media y la varianza de los datos.
2. Se divide la frecuencia observada de cada intervalo por el número total de datos. A este resultado para obtener la probabilidad observada i(POi).
3. Se calcula la probabilidad acumulada observada de cada intervalo (PAOi) del paso 2.
4. Se propone una distribución de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de frecuencias obtenida en 1.
5. Con la distribución propuesta se calcula la probabilidad esperada para cada uno de los intervalos (PEi) mediante la integración de la distribución propuesta.
6. Se calcula la probabilidad acumulada esperada (PAEi) para cada intervalo de clase.
7. Se calcula el valor absoluto entre PAOi y PEOi para cada intervalo y se selecciona la máxima diferencia, llamándola DM.
8. El estimador DM se compara con un valor límite con n datos y a un nivel de confiabilidad de 1-alfa. Si el estimador DM es menor o igual al valor límite, entonces no se puede rechazar que la información histórica sigue la distribución propuesta en el paso 4.

Ejemplo:

Mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov determine el tipo de distribución de probabilidad que siguen los datos del ejemplo anterior, con un nivel de confianza del 95%.

Obtenga la tabla de frecuencias, considerando 7 intervalos:

La distribución de probabilidad esperada que se propone, según los datos de la columna FO, es una distribución uniforme entre 0 y 13 automóviles por día, o sea:

Integrando la función f(x):

Donde:
LS = límite superior de cada intervalo.

Evaluando la ecuación anterior, se obtiene la tabla siguiente:

Al obtener la diferencia término a término entre PEA y POA, se tiene:

EL valor DM es igual a la máxima diferencia, o sea, 0.0694, que comparando contra el valor  , indica que los datos anteriores siguen una distribución uniforme entre 0 y 13 automóviles demandados por día, a un nivel de confianza del 95%. Por lo tanto,

⨠ REFERENCIAS

• Reza M. y García, E. (1996). Simulación y análisis de modelos estocásticos. (pp. 78-80). México: McGraw-Hill.