Procesos Químicos

CARACTERÍSTICAS DEL MODELADO DE PROCESOS QUÍMICOS

Desde el punto de vista de los sistemas que se estudian, los modelos dinámicos se clasifican en estocásticos y determinísticos; los modelos estocásticos se basan en probabilidad de eventos que conlleva a variables aleatorias, por otro lado tenemos a los modelos determinísticos que se basa en la existencia de la correlación entre variables donde se aplican leyes físicas, químicas, biológicas, físico-químicas etc, esta basado en leyes de conservación de energía así como en reacciones nucleares.

Dentro del planteamiento con ecuaciones algebraicas se tiene:

Balance de masa

Entrada = Salida

(en estado estacionario)

• Con acumulación:

dm = me - ms

• Sin acumulación:

me = ms

Ee = Ee

      m = de masa

      e = de energía

      en este caso, es un modelo estático

Recapitulando un poco, la simulación puede clasificarse en determinística o estocástica:

Determinística: Las ecuaciones dependen de parámetros y variables conocidas con certeza; no existen leyes de probabilidad.

Estocástica: Ciertas variables estarán sujetas a incertidumbre.

El modelo estocástico esta sujeto a la ley de probabilidad de resultados por lo que no entra en los procesos químicos.

Por otro lado recordamos la simulación de eventos discretos, donde existen variables de interés que no tienen un comportamiento continuo como el diseño de plantas Batch multiproducto.

•  SECUENCIAL - MODULAR
  
  Los procesos con reciclos den ser descompuestos así como los cálculos se deben realizar unidad por unidad.
  El modelo de operación unitaria es un elemento básico que es construido a partir de balances de masa energía y momentum; se obtiene un conjunto de ecuaciones algebraicas no- lineales (debe ser compatible y determinado):
  
  donde:u = variable de entrada/salida
  x = estado interno de la variable (temperatura, presión, concentración, etc).
  d = variable dependiente de la geometría (volumen, área de intercambio de calor etc)
  p = propiedades físicas (entalpías, valores de k etc).
  
• 
  
  ORIENTADA A ECUACIONES
  Todas las ecuaciones algebraicas no lineales se integran a un único conjunto y se resuelven simultáneamente.
  El reciclo no es dificultad para el modelo.
  Se refiere mas a modelos dinámicos.
  La ecuación que lo representa:
  
  Para un estado estacionario, el término derivativo es igual a 0
  Los resultados se muestran en tablas o gráficas.
  
• MÓDULOS SIMULTÁNEOS
  Es una mezcla de los anteriores.
  Muestra un enfoque a los simuladores comerciales futuros.

¿POR QUÉ LOS PROCESOS QUÍMICOS SE CONSIDERAN DETERMINÍSTICOS, CONTINUOS, ESTÁTICOS Y/O DINÁMICOS?

Porque las variables endógenas y exógenas no se pueden tomar como datos al azar en los modelos determinísticos. Por lo que las relaciones de estas variables son exactas y la probabilidad queda fuera de ellos.

Porque si se refiere a un modelo continuo las variables dependen del tiempo y en la mayoría de los procesos químicos existirá una variable por mínima que sea que dependerá del tiempo.

Porque ya sea en modelos estáticos (no dependen del tiempo) o dinámicos (se toma en cuenta el tiempo) existirá en un proceso.

¿SE PUDIERAN CONSIDERAR MODELADOS ESTOCÁSTICOS DE LOS PROCESOS QUÍMICOS?

No se puede considerar debido a que en algún elemento cuando no se conoce con anticipación se esta incorporando a la incertidumbre. En un proceso ningún dato se puede tomar al azar debido a que todo esta debidamente controlado.

Un proceso estocástico tiene numerosos conceptos de probabilidad y estadística que sirven para realizar grandes series de muestreos.

CONCLUSIONES
En los procesos químicos difícilmente se darán los procesos estocásticos debido a la incertidumbre que maneja, en un proceso a nivel Industria todo debe estar regularizado y monitorizado porque cualquier falla implica pérdidas para la empresa.

⨠ REFERENCIAS

• Apuntes de clase Scenna Nicolás José. (1999).
• Modelado, simulación y optimización de procesos químicos. Argentina: ISBN

Pruebas de bondad de ajuste

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE JI CUADRADA

Se utiliza para encontrar la distribución de probabilidad de una serie de datos. La metodología se basa en lo siguiente:

1. Se colocan los n datos históricos en una tabla de frecuencias de 
   

   

   intervalos. Se obtiene la frecuencia observada en cada intervalo i(FOi). Se calcula la media y la varianza de los datos.
2. Se propone una distribución de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de frecuencias obtenida en el paso 1.
3. Con la distribución propuesta, se calcula la frecuencia esperada para cada uno de los intervalos (FEi) mediante la integración de la distribución propuesta y su posterior multiplicación por el número total de datos.
4. Se calcula el estimador:
   

   
5. Si el estimador C es menos o igual al valor correspondiente (jicuadrada) con m-k-1 grados de libertad (k = número de parámetros estimados de la distribución) y a un nivel de confiabilidad de 1-alfa, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que la información histórica sigue la distribución propuesta en el punto 2.

Ejemplo:

Mediante la prueba x^2 determine el tipo de distribución de probabilidad que sigue la demanda de automóviles a un nivel del 95%, si a través del tiempo se ha registrado el comportamiento consignado en la figura 1.

Obtenga la tabla de frecuencias de la figura 1 considerando 7 intervalos y cuantificando la frecuencia para cada uno de ellos:

Figura 1. Comportamiento de la demanda

La distribución de probabilidad esperada que se propone, observando los datos de la columna FO, es una distribución uniforme entre  y  automóviles por día, o sea:

Integrando la función f(x):

Donde
LI = límite inferior de cada intervalo.
LS = límite superior de cada intervalo.

Sustituyendo los valores de los límites para obtener F(x) y multiplicándolos por el total de datos, se obtiene FE para cada intervalo.

Calculando el estadístico C con los datos de FEi y FOi, se obtiene

C = 4.092

El valor C = 4.092, comparado con el valor de la tabla de

indica que no podemos rechazar que los datos anteriores se comportan de acuerdo a una distribución uniforme entre 0 y 13 automóviles demandados por día con un nivel de confianza del 95%. Entonces,

PRUEBA DE AJUSTE DE BONDAD KOLMOGOROV-SMIRNOV

Esta prueba encuentra el tipo de distribución de probabilidad de una serie de datos, siendo más eficiente que la de (jicuadrada) ya que trabaja con la distribución de probabilidad acumulada. La metodología se basa en lo siguiente:

1. Se colocan n datos históricos en una tabla de frecuencias con 
   

   

   intervalos. Para cada intervalo se tendrá la frecuencia observada i(FOi). Se calcula la media y la varianza de los datos.
2. Se divide la frecuencia observada de cada intervalo por el número total de datos. A este resultado para obtener la probabilidad observada i(POi).
3. Se calcula la probabilidad acumulada observada de cada intervalo (PAOi) del paso 2.
4. Se propone una distribución de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de frecuencias obtenida en 1.
5. Con la distribución propuesta se calcula la probabilidad esperada para cada uno de los intervalos (PEi) mediante la integración de la distribución propuesta.
6. Se calcula la probabilidad acumulada esperada (PAEi) para cada intervalo de clase.
7. Se calcula el valor absoluto entre PAOi y PEOi para cada intervalo y se selecciona la máxima diferencia, llamándola DM.
8. El estimador DM se compara con un valor límite con n datos y a un nivel de confiabilidad de 1-alfa. Si el estimador DM es menor o igual al valor límite, entonces no se puede rechazar que la información histórica sigue la distribución propuesta en el paso 4.

Ejemplo:

Mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov determine el tipo de distribución de probabilidad que siguen los datos del ejemplo anterior, con un nivel de confianza del 95%.

Obtenga la tabla de frecuencias, considerando 7 intervalos:

La distribución de probabilidad esperada que se propone, según los datos de la columna FO, es una distribución uniforme entre 0 y 13 automóviles por día, o sea:

Integrando la función f(x):

Donde:
LS = límite superior de cada intervalo.

Evaluando la ecuación anterior, se obtiene la tabla siguiente:

Al obtener la diferencia término a término entre PEA y POA, se tiene:

EL valor DM es igual a la máxima diferencia, o sea, 0.0694, que comparando contra el valor  , indica que los datos anteriores siguen una distribución uniforme entre 0 y 13 automóviles demandados por día, a un nivel de confianza del 95%. Por lo tanto,

⨠ REFERENCIAS

• Reza M. y García, E. (1996). Simulación y análisis de modelos estocásticos. (pp. 78-80). México: McGraw-Hill.

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA Y DE CONVOLUCIÓN

TRANSFORMADA INVERSA

El método de la inversa de la función de distribución, Fx(x), afirma que:

"Si una variable aleatoria X tiene una función de distribución Fx(x) que admite inversa, entonces se verifica que la variable transformada u=Fx(x) sigue siempre una distribución uniforme continua u" 

Este método nos permite generar variables aleatorias siempre que podamos determinar analíticamente:

TRANSFORMADA DE CONVOLUCIÓN

El método de convolucion se puede usar siempre y cuando la variable aleatoria x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatorias:

En este método se necesita generar k números aleatorios (u1, u2,...,uk) para generar (x1, x2,...xk) variables aleatorias usando el método de composición por ejemplo, para obtener un valor de la variable que se desea obtener.

DIFERENCIAS Y SIMILITUDES

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Algoritmo: Distribución normal
En un ejemplo: X como variable continua:
1. Generar:

2. Definir:

3. Generar la salida de X
Algoritmo: Distribución exponencial
Supongamos que se tiene una distribución exponencial de media beta. La función densidad de probabilidad es:

La función acumulativa es:

Algoritmo: Distribución uniforme
A partir de la función de la densidad de las variables aleatorias uniformes entre a y b:

Se obtiene la función acumulada:

Igualando la función acumulada F(x) con el número pseudoaleatorio y despejando x se obtiene:

Algoritmo reproductivo de simulación Erlang:

1. Desde i=1 hasta p hacer

1.1 Generar:

1.2 Hacer:

2. Devolver:

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Algoritmo: Distribución de Poisson
1. Sean k=1, x=1
2. Se genera:

y se hace:

3. Si:

entonces x-1 es el valor buscado. En caso contrario se hace x=x+1 y se va al paso 2. 
Algoritmo: Distribución Binomial
Esta definida como:

donde:
x=0 (no ocurre el evento)
x=1 (ocurre el evento)

Calculando las probabilidades de los dos eventos, se tiene:

la función acumulada es:

Se genera un número aleatorio, ri entre 0 y 1, y:

• Si el número ri se encuentra entre 0 y 1 -p el número aleatorio generado con distribución Bernoulli es 0.
• Si el número ri se encuentra entre 1 y -p y 1, el número aleatorio generado con distribución Bernoulli es 1.

⨠ REFERENCIAS

• Olivares Pachecho Juan F. (2007). Probabilidades. Chile: UDA
• Reza M. y García, E. (1996). Simulación y análisis de modelos estocásticos. (pp. 78-80). México: McGraw-Hill.

MÉTODO CONGRUENCIAL MIXTO

PASOS PARA REALIZAR UN MÉTODO CONGRUENCIAL MIXTO EN EXCEL:

1. Proponer 4 cifras de diferentes cantidades.
2. Hacer 3 columnas: i, ri y zi.
3. Proponer 1000 números que no se repitan con las siguientes ecuaciones: 
   r(1+i)=a+c*ri)mod m  y   zi=ri/m
4. Calcular la estadística descriptiva:
   - Ir a Datos y dar clic en Análisis de datos.
   - Seleccionar Estadística Descriptiva.
   - El rango de entrada será la columna de zi y el rango de salida será una columna que se seleccionará a gusto del usuario; seleccionar Resumen de estadística y dar clic en el botón Aceptar.
   *Aparecerán dos columnas donde muestran los datos estadísticos y en la media dirá N/A.
5. Hacer la prueba de hipótesis:
   - Calcular la media de los 1000 datos.
   - Calcular el límite superior con la siguiente ecuación:  
   ls=1/2+z(α/2)*(1/12√zi)
   - Calcular el límite inferior con la siguiente ecuación:
   ls=1/2-z(α/2)*(1/12√zi)
   *Donde z(α/2) se calcula con la siguiente función:
   z(α/2)=INV.NORM.ESTAND(1-0.05/2)
   - Para aceptar H0 se calcula con la siguiente función: (li>=media<=ls)
   =SI(Y(MEDIA>=li,MEDIA<=ls)"Se acepta","Se rechaza")
   - Proponer una conclusión.
6. Hacer la prueba de varianza:
   - Calcular la varianza de los 1000 datos.
   - Calcular el límite superior con la siguiente ecuación:
   ls=x^2/12*(zi-1)
   *Donde x^2 se calcula con la siguiente función:
   x^2=INV.CHICUAD.CD(0.05/2,zi-1)
   - Calcular el límite inferior con la siguiente ecuación:
   li=x^2/12*(zi-1)
   *Donde x^2 se calcula con la siguiente función:
   x^2=INV.CHICUAD.CD(1-0.05/2,zi-1)
   - Para aceptar H0 se calcula con la siguiente función: (v(zi)=1/12)
   =SI(Y(VARIANZA>=li,VARIANZA<=ls)"Se acepta","Se rechaza")
7. Para hacer la prueba de uniformidad, se construye una tabla de 3 columnas y 5 filas: clase (1, 2, 3, 4, 5), límite inferior (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8) y límite superior (0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).
8. Construir un histograma:
   - Ir a Datos en Análisis de Datos.
   - Seleccionar Histograma.
   - En rango de entrada los 1000 datos de zi.
   - En rango de salida las 4 clases de la tabla antes construida.
   - Seleccionar Crear gráfico.
   -Para finalizar dar clic en el botón Aceptar.

NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS?

Es una sucesión de números aleatorios o bien una secuencia determinística de números obtenidos mediante una relación de recurrencia es decir de un algoritmo, esta secuencia de números es periódica.

Son necesarios cuando se pone en práctica un modelo de simulación, para obtener observaciones aleatorias.

Estos números se generan a partir de un valor inicial aplicando iterativamnte la relación que los genera una computadora, es por eso que se les denomina pesudoaleatorios.

⨠CARACTERÍSTICAS

Los números pseudoaleatorios deben cumplir ciertas características para que sean válidos:

• Uniformemente distribuidos.
• Estadísticamente independientes.
• Su media debe ser estadísticamente igual a 1/2.
• Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1/12.
• Su ciclo de vida debe ser largo.

MÉTODO MONTE CARLO

La simulación de Monte Carlo es un método que emplea números aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [0,1] que es utilizado para resolver problemas donde la evolución con el tiempo no es de importancia.

En un Monte Carlo, el simulado trata de crear un universo teórico descrito completamente por una Ley de Probabilidad que se supone conocida.

Para obtener una muestra del universo teórico que sea completamente aleatoria se deben realizar las siguientes fases:

1. Representar la función de distribución de probabilidad f(x) de la  variable o variables del modelo de simulación.
2. Elegir los número aleatorios comprendidos entre 0 y 1, mediante una tabla de números aleatorios. ¿Cuántos? y ¿Cómo?
3. Los números aleatorios se situarán en forma horizontal sobre la función de distribución de probabilidad.
4. Los valores de las abscisas que se corresponden a los puntos de corte o intersección de la curva representativa, constituyen la muestra aleatoria.
   REFERENCIAS:
• Reza M. y García, E. (1996). Simulación y análisis de modelos estocásticos. México: McGraw-Hill.
• Malva Alberto, Schwer Ingrid, Cámara Viviana & Fumero Yanina . (2005). Matemática Discreta . Argentina: UNL.
• Durán Herrera, Juan José (1992). “Economía y Dirección Financiera de la Empresa” Editorial Pirámide

HERRAMIENTAS DE SOFTWARE

HERRAMIENTAS DE SOFTWARE

En esta ocasión se hablará un poco acerca de los softwares que se utilizan en simulación de sistemas y algunos softwares comerciales en Ingeniería Química.

• ProModel

Simulador con animación para computadoras que permite simular cualquier tipo de sistemas de manufactura, manejo de materiales logística, etc.

Algunos beneficios son que crea modelos de manera rápida sencilla y flexible, tiene importación del Layout de Autocad y cuenta con resultados probados.

• FLEXSIM

Herramienta de análisis que simula, analiza y optimiza para ayudar en la toma de decisiones inteligentes en el diseño y operación de un sistema. 

Una de las ventajas es que se puede desarrollar un modelo en 3 dimensiones de un sistema de la vida real.

• ARENA

Herramienta orientada al proceso que utiliza el código SIMAN (lenguaje de simulación). Posibilita la construcción de los modelos sin la necesidad de codificar los programas. 

• WITNESS

Software que simula y modela un sistema dinámico con eventos discretos. Representa la información y estado del proceso de manera muy visual. Otra ventaja es que facilita la comprensión del funcionamiento del sistema de modelado así como las conclusiones a partir de simulaciones realizadas.

• ASPEN PLUS

Programa para la simulación de procesos químicos en el cual hace estimaciones de propiedades de compuestos, análisis de sensibilidad de variables de proceso así como obtener especificaciones de diseño de proceso y hacer simulaciones de diagramas de flujo principalmente.

• COMSOL MULTIPHYSICS

Software CAE para modelado, análisis y simulación de fenómenos físicos 3D en ingeniería, como problemas con fluidos, estructurales y térmicos entre otros; Además de permitir definir la geometría 3D tiene interfaces con diferentes programas CAD con una serie de módulos por aplicación y solvers específicos que se pueden agregas como:

• Comsol AC/DC module
• Comsol mems module
• Comsol RF module
• Comsol optimization lab
• Comsol acoutics module
• Comsol heat transfer module
• Comsol structural mechanics module
• Comsol CAD import module
• Comsol chemical engineering module

⨠ REFERENCIAS
Coss Raúl. Simulación. Un Enfoque Práctico. LIMUSA, 1997, México.

http://www.promodel.com.mx/promodel.php

https://www.flexsim.com/es/

http://www.3dcadportal.com/comsol.html